一阶微分方程求解

微分方程类型	微分方程形式	微分方程解
变量可分离型	$$y’=f(x)g(y)$$	$\int\dfrac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$
可化为变量可分离	$$\dfrac{dy}{dx}=f(ax+by+x)$$	1、令$u=ax+by+c$ 2、$\dfrac{du}{dx}=a+b\dfrac{dy}{dx}$ 3、代入原方程得$\dfrac{du}{dx}=a+bf(u)$
齐次微分方程	$$\dfrac{dy}{dx}=\varphi(\dfrac{y}{x})$$	1、令$u=\dfrac yx$ 2、$\dfrac{\text dy}{\text dx}=u+x\dfrac{\text du}{\text dx}$ $x<0$时，$\sqrt{\ \ \ }要$$-$
一阶线性微分方程	$$y’+py=q$$	$y=\text{e}^{-\int{p}\left( x \right) \text{d}x}\left[ \int{\text{e}}^{\int{p}\left( x \right) \text{d}x}\cdot q\left( x \right) \text{d}x+\text{C} \right]$
二阶可降阶微分方程（含变量）	$$y’’=f(x,y’)$$	1、令$y’=p(x),y’’=p’$ 2、原方程变为$\dfrac{dp}{dx}=f(x,p)$ 3、解$p=\varphi(x,C_1)$，即$y’=\varphi(x,C_1)$ 4、原方程的通解为$y=\int \varphi(x,C_1)dx+C_2$
二阶可降阶微分方程（无变量）	$$y’’=f(y,y’)$$	1、令$y’=p$, $y’’= p\cdot\dfrac{dp}{dy}$ 2、原方程变为$p\dfrac{dp}{dy}=f(y,p)$ 3、解$p=\varphi(y,C_1)$，则$p=\dfrac{dy}{dx}$ 4、分离变量得$\dfrac{dy}{\varphi(y,C_1)}=dx$ 4、两边积分$\int \dfrac{dy}{\varphi(y,C_1)}=x+C_2$
全微分方程	$$P\text dx+Q\text dy=0$$	若$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}$，则该方程为全微分方程 1、$\int_{x_0}^xP\text dx+\int_{y_0}^yQ\text dy=\text C$ 2、利用积分：$u=\int P\text dx+\varphi(y)$并计算$\dfrac{\partial u}{\partial y}$和$Q$比较
伯努利方程	$$y’+p(x)y=q(x)y^n$$	1、令$z=y^{1-n}$ 2、$\dfrac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx}$ 3、$\dfrac{1}{1-n}\cdot \dfrac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)$
欧拉方程	$$x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_ny=f(x)$$	1、令$x=\text e^t$ 2、记$D=\dfrac{\text d}{\text dt}$ 3、则$x^ky^{(k)}=D(D-1)…(D-K+1)$ 4、解特征方程
全微分方程	$$P\text dx+Q\text dy=0$$ $$\dfrac{\text d P}{\text dy}=\dfrac{\text dQ}{\text dx}$$	$\int_{x_0}^xP\text dx+\int_{y_0}^yQ\text dy=\text C$

高阶线性微分方程

二阶变系数微分方程：$y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)$

二阶常系数线性微分方程：$y’’+py’+qy=f(x)$

解的结构

$y_1,y_2$为$y’+P(x)y=Q(x)$的解

$k_1y_1+k_2y_2$非齐次方程$y’+P(x)y=Q(x)$的解$\Leftrightarrow$$k_1+k_2=1$
$k_1y_1+k_2y_2$为齐次方程$y’+P(x)y=0$的解$\Leftrightarrow$$k_1+k_2=0$

通解：$y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$

特解：$y^*$

$y(x)+y^*(x)$是$y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)$的通解

解的性质

若$y_1^*(x)$是$y’’+p(x)y’+q(x)y=f_1(x)$的解，$y_2^*$是$y’’+p(x)y’+q(x)y=f_2(x)$的解，则$y_1^*(x)+y_2^*(x)$是$y’’+p(x)y’+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$的解

二阶常系数齐次线性微分方程通解

对于$y’’+py’+qy=0$，其对应特征方程$\lambda^2+p\lambda +q=0$

$p^2-4q\left\{ \begin{array}{l}>0\ \ \ \ y=C_1e^{\lambda _1x}+C_2e^{\lambda _2x}\\ =0\ \ \ \ y=\left( C_1+C_2x \right) e^{\lambda x}\\ <0\ \ \ \ y=e^{\alpha x}\left( C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x \right)\\ \end{array} \right. $

二阶常系数非齐次线性微分方程通解

$f(x)$	特解形式
$f(x)=\text e^{\lambda x}P_m(x)$	$y^*=x^k\text e^{\lambda x} Q_m(x)$
$f(x)=\text e^{\lambda x}\left(P_l(x)\cos \omega x+P_n(x)\sin \omega x\right)$	$y^*=\text e^{\lambda x}\left(R^{(1)}_m(x)\cos \omega x+R^{(2)}_m(x)\sin \omega x\right)$ $m=\max{l,n}$

技巧

微分算子

记$\dfrac{\text d^n}{\text dx^n}D$，$\dfrac{\text d^ny}{\text dx^n}=D^ny$

$D$表示求导，$\dfrac 1D$表示积分

特解：$y^*=\dfrac1{F(D)}f(x)$

形式	特解
$\dfrac1{F(D)}\text e^{kx}$，$F(k)\ne0$	$\dfrac1{F(k)}\text e^{kx}$
$\dfrac1{F(D)}\text e^{kx}$，若$k$为$F(k)$的$m$重根	$x^m\dfrac1{F^{(m)}(k)}\text e^{kx}$
$\dfrac1{F(D)}\text e^{kx}V(x)$	$\text e^{kx}\dfrac1{F(D+k)}V(x)$
$\dfrac1{F(D)}\sin ax$、$\dfrac1{F(D)}\cos ax$	$\dfrac1{F(D)}\text e^{\text iax}$
$\dfrac1{F(D^2)}\sin ax$、$\dfrac1{F(D^2)}\cos ax$ $F(-a^2)\ne0$	$\dfrac1{F(-a^2)}\sin ax$ $\dfrac1{F(-a^2)}\cos ax$
$\dfrac1{F(D^2)}\sin ax$、$\dfrac1{F(D^2)}\cos ax$ $F(-a^2)=0$	$\dfrac1{F(D^2)}\sin ax=x^m\dfrac1{F^m(D^2)}\sin ax$ $\dfrac1{F(D^2)}\cos ax=x^m\dfrac1{F^m(D^2)}\cos ax$
$\dfrac1{F(D)}\left(x^p+b_1x^{p-1}+\cdots+b_{p-1}x+b_p\right)$	$\dfrac1{F(D)}=1÷F(D)$按$D$的升幂排列，当商式中出现$D$的$p$次幂时，除法停止

常见微分

常见方程	解法
$yy’’+(y’)^2=k$	$y^2=kx^2+C_1x+C_2$
$p\dfrac{\text dp}{\text dy}$	$p\dfrac{\text dp}{\text dy}=\dfrac12 \dfrac{\text d(p^2)}{\text dy}$
$2yy’$	令$u=y^2$，$u’=2yy’$
$y’\sec^2y$	令$u=\tan y$，$u’=(\tan y)’=y’\sec^2y$
$f(x+y)$涉及到$f’$	可以考虑$f(x+\bigtriangleup x)$