高等数学在物理上的诸多应用
微分学应用
运动学
速度：$v=s’(t)$
加速度：$a(t)=v’(t)=s’’(t)$
$s=\int \sqrt{1+y’^2}\text dx=vt$，联立方程组消除$t$
沿着速度最快的方向：$\dfrac{\text dy}{\text dx}=\dfrac{\text{grad F}_y}{\text {grad }F_x}$
积分学应用
力
变力直线做功：$W=\int_a^bF(x)dx$
抽水做功：$W=\rho g \int_a^b xS(x)dx$
水压力：$P=\rho g\int_a^bx[f(x)-h(x)]dx$
浮力：$F_浮=\rho_{水}V$
引力：$(x_0,y_0)$对于$L$上点的引力做功$W=k\left(\dfrac1{\sqrt{(x_2-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\Bigg|^{y_2}_{y_1}-\dfrac1{\sqrt{(x-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}}\Bigg|^{x_2}_{x_1}\right)$
重心
坐标：$x=\dfrac{\int_L\rho x\text ds}{\int_L \rho \text ds}$
转动惯量
$$I=m\cdot l^2$$
$I_x=\sum y_i^2m_i$【离散】
平面薄片$I_x=\iint_Dd^2\rho\text d\sigma$
空间区域$I_{xOy}=\iint_\varOmega\rho d^2\text dv$
场论
| 场论 | 符号 | 公式 |
|---|---|---|
| 方向导数 | $\dfrac{\partial u}{\partial \overrightarrow{l}}$ | $u_x’\cos\alpha+u_y’\cos\beta+u_z’\cos\gamma$ |
| 梯度 | $\boldsymbol{grad\ }u$ | $\left( u_{x}^{‘} ,\ u_{y}^{‘} ,\ u_{z}^{‘}\right)$ |
| 散度 | $\text{div }A$ | $\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}$ |
| 旋度 | $\text{rot }A$ | $\left |
| 通量 | $\varPhi$ | $\underset{\sum{}}{\iint_{}{}}P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y\\underset{\sum{}}{\iint_{}{}}\vec{a}\cdot \vec{n}\text{d}S$ |
| 环流量 | $\phi$ | $\oint_L{P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z}\\oint_L{\vec{a}}\ \text{d}\vec{s}$ |
方向导数
$u(x,y,z)$在$P_0$点可微，则$u$在$P_0$处沿方向$l$的方向导数：
$$\dfrac{\partial u}{\partial \overrightarrow{l}}\Bigg|_{P_0}^{}=u_{x}^{'}\left( P_0 \right) \cos \alpha +u_{y}^{'}\left( P_0 \right) \cos \beta +u_{z}^{'}\left( P_0 \right) \cos \gamma =\left|\boldsymbol{grad\ }u\bigg|_{P_0}\right|\cdot\cos\theta$$$u$在$P_0$处沿函数$f$在该点梯度的方向的方向导数$\dfrac{\partial u}{\partial \overrightarrow{l}}\Bigg|_{P_0}^{}=\left(u'_x,u'_y,u'_z\right)\cdot \dfrac{\boldsymbol{grad\ }f\bigg|_{P_0}^{}}{\left|\boldsymbol{grad\ }f\bigg|_{P_0}^{}\right|}$
梯度
$\boldsymbol{grad\ }u\bigg|_{P_0}^{}=\left( u_{x}^{'}\left( P_0 \right) ,\ u_{y}^{'}\left( P_0 \right) ,\ u_{z}^{'}\left( P_0 \right) \right) $散度
散度表示向量场$A$在$(x,y,z)$处源头的强弱程度，若$\text{div }A=0$在场内处处成立则称为无源场
$$\text{div }A=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}$$旋度
旋度表示向量场$A$在$(x,y,z)$处最大旋转趋势，若$\text{rot }A=0$在场内处处成立则称为无旋场
$$\text{rot}\ A=\left| \begin{matrix} \overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ \dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y}& \dfrac{\partial}{\partial z}\\ P& Q& R\\ \end{matrix} \right|$$向量场：$\vec{a}\left( x,y,z \right) =\left\{ P,Q,R \right\} $
曲面$\sum$单位法向量：$\vec n $
有向闭环：$L$
