数学中最难的证明
中值定理
闭区间四大定理
条件：$f(x)\in \text{C}_{\left[ a,b \right]}$
有界定理：$f(x)$在$[a,b]$上必有界开区间不成立
最值定理：$f(x)$一定存在最大值$M$和最小值$m$开区间不成立
介值定理：$\forall \mu \in[A,B]$，则$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f(\xi)=\mu$
推论： 标志——$\xi\in[a,b]$
闭区间连续$\Rightarrow $最值定理$\Rightarrow$存在$M$和$m$\Rightarrow$介值定理
零点定理：标志——$\xi\in(a,b) $
- 方程的根问题
- 中值定理证明：零点定理+罗尔/拉格朗日
三大中值定理
条件：$f(x)\in \text{C}_{\left[ a,b \right]}$、$f(x)\in \text{D}_{\left( a,b \right)}$$
费马引理：$f(x)在x_0处\left\{ \begin{array}{l} \text{可导}\\ \text{取极值}\\ \end{array} \right. \Rightarrow f'(x_0)=0$证明罗尔
罗尔中值定理：$f\left( a \right) =f\left( b \right) \Rightarrow \exists\xi\in(a,b)$，$f’(\xi)= 0$
拉格朗日中值定理：$\exists\xi\in(a,b)$，$f’(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
变式：$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\\f(b)-f(a)=f'\left[a+\theta(b-a)\right](b-a)，0<\theta<1\\f\left( x_0+\bigtriangleup x \right) -f\left( x_0 \right) =f'\left( x_0+\theta \bigtriangleup x \right) \cdot \bigtriangleup x$$
柯西中值定理：$\exists\xi\in(a,b) $，$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f’(\xi)}{g’(\xi)}$
泰勒中值定理
泰勒公式：
- 拉格朗日余项：$f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+…+\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
- 佩亚诺余项：$f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+…+\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\text o((x-x_0)^n)$
积分中值定理：$\exists \xi \in [a,b]$，$\int_a^b{f\left( x \right) dx=f\left( \xi \right) \left( b-a \right)}\
\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^b g(x)dx$
题型
最值定理+介值定理
标志：
$\xi\in[a,b]$，没有导数，
题干出现$a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$的多点问题
步骤
由题意得$f(x)$在$[a,b]$连续
根据最值定理，故有$m\le f(x)\le M$，$x\in[a,b]$
其中$M$是$f(x)$在$[a,b]$上的最大值，$m$是$f(x)$在$[a,b]$上的最小值
于是$m\le f(x_1)\le M \\\\ m\le f(x_2)\le M\\\\ \vdots \\\\ m\le f(x_n)\le M$
故有$k_1m\le k_1f(x_1)\le k_1M\\\\k_1m\le k_1f(x_2)\le k_1M\\\\ \vdots\\k_1m\le k_1f(x_n)\le k_1M$
进而可得$(k_1+k_2+\cdots+k_n)m\le k_1f(x_1)+k_2f(x_2)+\cdots+k_nf(x_n)\le(k_1+k_2+\cdots+k_n)M$ 整理得$m\le \dfrac{k_1f(x_1)+k_2f(x_2)+\cdots+k_nf(x_n)}{k_1+k_2+\cdots+k_n}\le M$ 即$m\le G(x)\le M$
由介值定理可得，至少存在$\in\in[a,b]$，使得$f(\xi)=G(x)$
结论有等式+不涉及求导 或者 $f(\xi)=0$
定理：零点定理
步骤：
- 由题意构造函数$G(x)$
- 故可知$G(x)$在$[a,b]$上连续
- 且$G(a)=\cdots$，$G(b)=\cdots$
- 即$G(a)G(b)<0$
- 故由零点定理，可知存在$\xi\in(a,b)$，使得$G(\xi)=0$
结论有$f’(\xi)=0$并涉及$f’(\xi)$
定理：罗尔定理
步骤：
- 由题意构造函数$F(x)$
- 则$F(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导
- 又已知$f(a)=…$，$f(b)=…$
- 所以$F(a)=F(b)$
- 故由罗尔定理得，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F’(\xi)=0$
结论中有$f’’(\xi)=0$ 或 涉及 $f’’(\xi)$
定理：优先两次罗尔定理
计算$f’’(\xi)=0$步骤
- 由题意，$\varphi(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导
- 且$\varphi(a)=\varphi(b)$
- 由罗尔定理得，存在$\eta\in(a,b)$，使得$\varphi’(\eta)=0$
- 又$\varphi’(x)=…$
- 所以$\varphi’(x_0)=\varphi’(\eta)$
- 再对$\varphi’(x)$在$[x_0,\eta]$上使用罗尔定理
- 存在$\xi\in(x_0,\eta)\subset (a,b)$，使得$\varphi’’(\xi)=0$
证明$f^{(n)}(\xi)=k$
定理：拉格朗日
步骤：
- 因为$f(x)$在$[0,+\infty]$上可导
- 所以$f(x)$在$[a,\eta]$上符合拉格朗日中值定理的条件
- 故存在$\xi \in(a,\eta)$，使得$f(\eta)-f(a)=\eta f’(\xi)$成立
- 又$f(a)=…$，$f(\eta)=…$
方程的根
定理：转化为$f^{(n)}(\xi)=0$
$n=0$时，零点定理
$n=1$时，罗尔定理
$n=2$时，对$f’(x)$罗尔定理
$n>2$时，多次对高阶导数罗尔
证明不等式
原理
做差求导（$x_0 $）
步骤
- 求得$x_0$
- 根据$f’$判定$x_0$范围
拉格朗日（连续不等 或 二阶导）
步骤
由已知可得$\varphi(x)$大小关系
对$\varphi(x)$分别在区间$[a,b],[c,d]$上应用拉格朗日中值定理
存在两个不同点$\eta_1\in(a,b),\eta_2\in(c,d)$
使得$\varphi’(\eta_1)=\dfrac{\varphi(b)-\varphi(a)}{b-a}>0$，$\varphi’(\eta_2)=\dfrac{\varphi(c)-\varphi(d)}{c-d}<0$
对$\varphi’(x)$在区间$[\eta_1,\eta_2]$上应用拉格朗日中值定理
至少存在$\xi\in(\eta_1,\eta_2)$，使得$\varphi’’(\xi)=\dfrac{\varphi’(\eta_2)-\varphi’(\eta_1)}{\eta_2-\eta_1}$
泰勒（出现阶差 或 三阶导）
泰勒公式证明等式与不等式
- $f’’(\xi)$以及更高阶
- 条件阶差$(f’,f’’,f’’’)$
- 需要$n$阶导或$n$次方
步骤
- 函数$g(x)$在$x=x_0$处展开成带有拉格朗日余项的$n$阶泰勒公式，得$…$
证明有界
定理：泰勒
步骤
- 由泰勒公式，得
- $g(x)=g(x_0)+g’(x_0)(x-x_0)+\dfrac{g’’(\xi)}{2!}(x-x_0)^2$，$\xi$在$x_0$与$x$之间
- 则有$g(a)=g(x)+g’(x)(a-x)+\dfrac{g’’(\xi_1)}{2!}(a-x_0)^2$，$\xi_1$在$a$与$x$之间
- 则有则有$g(b)=g(x)+g’(x)(b-x)+\dfrac{g’’(\xi_2)}{2!}(b-x_0)^2$，$\xi_2$在$x$与$b$之间
- 所以$g(b)-g(a)=g’(x)+\dfrac{g’’(\xi_2)}{2!}(b-x_0)^2-\dfrac{g’’(\xi_1)}{2!}(a-x_0)^2$，$\xi_1$在$a$与$x$之间，$\xi_2$在$x$与$b$之间
- 经整理，得$g’(x)=g(b)-g(a)+\dfrac{g’’(\xi_2)}{2!}(b-x_0)^2-\dfrac{g’’(\xi_1)}{2!}(a-x_0)^2$
- $\left|g’(x)\right|=\left|g(b)\right|+\left|g(a)\right|+\dfrac{g’’(\xi_2)}{2!}(b-x_0)^2+\dfrac{g’’(\xi_1)}{2!}(a-x_0)^2$
同一个函数有两个自变量
标志：存在$\xi,\eta\in(a,b)$
定理：
- 两次拉格朗日
- 一次拉格朗日+柯西除了$f(x)$外还有其他函数
- 两次柯西几乎不用
两次拉格朗日步骤（及其对称）
由题意构造函数$G(x) $
则有$G(a)=G(b)$，且$G’(x)=\cdots$
对于$G(x)$分别在$[a,c]$和$[c,b]$上使用拉格朗日中值定理
得$G(c)-G(a)=(c-a)G’(\xi_1)$，$\xi_1\in(a,c)$
及$G(b)-G(c)=(b-c)G’(\xi_2)$，$\xi_2\in(c,b)$
相加/相减得$\cdots $
拉格朗日+柯西步骤
- 由题意，令$\varphi(x)=\cdots$，可得$f(x)$和$\varphi(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b) $内可导，且$\varphi’(x)=0$ $(x\in[a,b])$
- 故满足柯西中值定理条件，存在$\eta\in(a,b)$，使得$\dfrac{f(b)-f(a)}{\varphi(b)-\varphi(a)}=\dfrac{f’(\eta)}{\varphi’(\eta)}$，即$…①$
- 又由拉格朗日中值定理可知，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f’(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
- 整理得$f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)\cdots ②$
- 将②代入①中，得$\dfrac{f’(\xi)(b-a)}{\varphi(b)-\varphi(a)}=\dfrac{f’(\eta)}{\varphi’(\eta)}$
- 即$…$，其中$\xi,\eta\in(a,b)$
结论中有两个函数但同一个自变量
定理：柯西中值定理
步骤
- 由题意，构造函数$F(x)$和$G(x)$
- 则由柯西中值定理，得$\dfrac{F(m)-F(n)}{G(m)-G(n)}=\dfrac{F’(\xi)}{G’(\xi)}$，$\xi\in(m,n)$
- 即$…$
结论涉及某函数为常数
定理：拉格朗日推论
步骤
- 由题意构造函数$G(x)$
- 则$G’(x)$
- 又$\cdots$，所以$G’(x)=0$
- 由拉格朗日中值定理的推论，得$G(x)=\text C$（其中$\text C$为常数）
验证函数是否满足中值定理
步骤：分段点连续可导
$f(a+)=f(a-)$
可导用定义证明
综上所述，$f(x)$在$[a,b]$上满足XX的条件，因而满足XX定理
积分符号
定理：积分中值定理
- 积分中值定理
- 变上限积分求导不等式
中值定理解题
- 确定区间
- 确定辅助函数
- $f(x)+f’(x)\Rightarrow F(x)=f(x)e^x$
- $f’(x)-f(x)\Rightarrow f(x)e^{-x}$
- $f’(x)+kf(x)\Rightarrow F(x)=f(x)e^{kx}$
- $2F(x)f(x)\Rightarrow F(x)=2f(x)f’(x)$
- $[f’(x)]^2+f(x)f’’(x)\Rightarrow F(x)=f(x)f’(x)$
- $e^{\varphi (x)}[f’(x)+f(x)\varphi ‘(x)]\Rightarrow e^ {\varphi(x)}f(x)$
- $xf’(x)+kf(x)\Rightarrow x^kf(x)$
- $f’(x)+knx^{n-1}f(x)\Rightarrow \text e^{kx^{n-1}}f(x)$
- $xf’(x)-f(x)\Rightarrow \dfrac{f(x)}x$
- $f’g-gf’\Rightarrow\dfrac fg$
- $f’+P(x)f\Rightarrow \text {Ce}^{-\int P\text dx}$
- 确定使用定理
- 零点定理：找$f(c)=0【\left{ \begin{array}{l}
f\left( a \right) =0\
f\left( b \right) =0\
\end{array}\Rightarrow f\left( c \right) =0 \right. 】$ - 介值定理：找$f(c)=\mu【\left{ \begin{array}{l}
f\left( a \right) =A\
f\left( b \right) =B\
A<\mu <B\
\end{array} \right. \Rightarrow f\left( c \right) =\mu 】$ - 费马定理：证明$f’(\xi)=0【\xi为可导极值点】$
- 罗尔定理：
- 证明$F’(\xi)=0$
- 证明$F^{(n)}(\xi)=0$
- 拉格朗日中值定理：
- 题设有$f$与$f’$关系或$f(b)-f(a)$
- 证明$F’(\xi)>0$
- 证明$F^{(n)}(\xi)>0$
- 证明$F(f’(\eta ),f’(\tau))=0$
- 单调性
- 泰勒公式：
- 题设包含$f$与$f^{n}$关系
- 证明$F^{(n)}(\xi)>0$
- $f’’(x)$考凹凸性
- 柯西中值定理：
- 两个具体函数
- 一个具体函数与一个抽象函数
- 与拉格朗日中值定理综合
- 零点定理：找$f(c)=0【\left{ \begin{array}{l}
出现端点为0与一阶导，或有三个点的值，尝试拉格朗日
